Question

（本題滿分12分）已知函數（x>0）．（1）若b≥，求證≥（e是自然對數的底數）；（2）設F(x)=+（x≥1，a∈R），試問函數F(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)  當a≥0時，最小值為a-1，當a<0時，最小值為．

解析:

由已知有，令，即，解得．

當時，≥0，即f(x)在上是增函數；當 時，<0，即f (x)在上是減函數．………4分于是由 b≥，有≥，即blnb≥．整理得 lnb^be≥，∴ ≥．  6分

（2），令=0，即lnx+a=0，解得x=．

當≤1，即a≥0時，F(x)在上是增函數，∴ ；

當>1，即a<0時，F(x)在[1，]上是減函數，在上是增函數，

∴ ．

即F(x)存在最小值，當a≥0時，最小值為a-1，當a<0時，最小值為．

                   ……………………………………………………………………12分