Question

如圖，點(diǎn)F為橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個焦點(diǎn)F′，利用OM是△FPF′的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF的三邊之長，使用勾股定理求離心率．
解答：解：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個焦點(diǎn)F′，由題意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位線，
∴OM=PF′=b，PF′=2b，由橢圓的定義知  PF=2a-PF′=2a-2b，
又 MF=PF=（2a-2b）=a-b，又OF=c，
直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可求得離心率 e==，故答案選 B．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a．