Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁．
（1）求幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積；
（2）求直線BD₁與面A₁BC₁所成角的大小．（用反三角表示）

Answer 1

分析：（1）由已知中，圖示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁是由過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁得到，故VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，將AB=BC=2，AA₁=4代入即可得到答案．
（2）解以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出各點坐標，進而求出直線BD₁的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入直線與平面夾角的向量法公式，即可求出答案．

解答：解（1）VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=4A1A-

2

3

A1A=

40

3

（5分）
（2）解以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示．
由題意：B（2，2，0），D₁（0，0，4），A₁（2，0，4），C₁（0，2，4），（7分）

BD1

=(-2，-2，4)，

A1B

=(0，2，-4)，

A1C1

=(-2，2，0)，
設面A₁BC₁的法向量是

n

=(u，v，w)，則

2v-4w=0 -2u+2v=0

取v=2得，

n

=(2，2，1)（10分）
設

n

與

BD1

的夾角為φ，
則cosφ=-

6

9

設直線BD₁與面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=|cosφ|=

6

9

（12分）
得直線BD₁與面A₁BC₁所成的角為arcsin

6

9

（13分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，組合幾何體的體積，直線與平面所成的角，其中熟練掌握棱柱、棱錐的幾何特征，準確分析出組合體的組成是解答本題的關鍵．