Question

已知函數y=log₂（1-x）的圖象上兩點B、C的橫坐標分別為a-2，a，其中a≤0．又A（a-1，0），求△ABC面積的最小值及相應的a的值．

Answer 1

分析：解法一：S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'，將已知中各點坐標代入，可得△ABC面積的解析式，進而根據對數函數的單調性，二次函數的圖象和性質，得到△ABC面積的最小值及相應的a的值．
解法二：過A作L平行于y軸交BC于D，根據梯形的中位線定理可得，D是BC中點，由S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB=|AD|可得△ABC面積的解析式，進而根據對數函數的單調性，二次函數的圖象和性質，得到△ABC面積的最小值及相應的a的值．

解答：解：如圖

解法一：
S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]•2-

1

2

log2(3-a)•1-

1

2

log2(1-a)•1
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故當a=0時，(S△ABC)min=

1

2

log23
解法二：
過A作L平行于y軸交BC于D，由于A是B'C'中點
∴D是BC中點
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB
=

1

2

|AD|•1+

1

2

|AD|•1=|AD|
∵|AD|=

yB+yC

2

=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故當a=0時，(S△ABC)min=

1

2

log23

點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性，二次函數的圖象和性質，復合函數的單調性，其中根據已知求出△ABC面積的解析式，是解答的關鍵．