Question

已知△ABC中，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)；且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=

3

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，直接計算，根據A是三角形內角，求角A；
（2）用a=

3

和A，求出三角形外接圓直徑，寫出三角形面積表達式，然后利用積化和差公式，化簡表達式，求△ABC的面積的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=1=-cosA+

3

sinA，
所以  sin（A-

π

6

）=

1

2

因為A 是三角形內角，所以A=

π

3

（2）三角形ABC的外接圓的半徑為R，所以 2R=

3

sin π 3

=2，
S=

1

2

bcsinA=

1

2

2R×2R×sinAsinBsinC
=

3

2

[cos(B-C)-cos(B+C)]
=

3

2

cos(B-C)+

3

4

當B=C時，S取得最大值，最大值是：

3 3

4

點評：本題考查平面向量數量積的運算，積化和差公式，正弦定理，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．