Question

（本題滿分13分）設(shè)函數(shù)，且，，求證：（1）且；

（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)；

（3）設(shè)是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)，求出，再根據(jù)即可得證；（2）先求出和，根據(jù)零點(diǎn)存在定理分和討論即可得證；

（3）利用韋達(dá)定理和第（1）問的結(jié)論即可得證.

【解析】

試題分析：(1),,

又，,，                                ……2分

又.            ……4分

（2）

①當(dāng)時，，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)

②當(dāng)時，，，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)

綜上所述：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。                    ……8分

（3）是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，

，.                             ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查不等式的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證能力.

點(diǎn)評：證明此類問題時，要充分利用不等式的性質(zhì)和題設(shè)條件，盡量每一步都做到言之有據(jù).