Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）在定義域上的單調區(qū)間；
（II）若關于x的方程f（x）-a=0恰有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）已知實數(shù)x₁，x₂∈（0，1]，且x₁+x₂=1．若不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，求實數(shù)p的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）為分段函數(shù)，當x＞2時，f（x）=f（2）=，此時，不是單調函數(shù)，當0≤x≤2時，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分別得到單調遞增區(qū)間、單調遞減區(qū)間．
（2）f（x）-a=0恰有兩個不同實數(shù)解，等價于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個交點，根據(jù)f（x）的單調性，畫出圖象，很容易得到a的取值范圍．
（3）由已知，不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，只需f（x₁）•f（x₂）的最大值小于x-ln（x-p）的最小值．接下來利用導數(shù)、均值不等式求出f（x₁）•f（x₂）的最大值；利用導數(shù)求最值的方法求x-ln（x-p）的最小值．
解答：解：（1）當x＞2時，f（x）=f（2）=是常數(shù)，不是單調函數(shù)；
當0≤x≤2時，f（x）=，∴=-
當f′（x）＜0，即x＞-1或x＜--1時，f（x）為減函數(shù)；
當f′（x）＞0，即--1＜x＜-1時，f（x）為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（-1，2]；
單調遞增區(qū)間為[0，-1）

（2）由（1）知，
方程f（x）-a=0恰有兩個實數(shù)解，等價于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個交點，
所以得到a的取值范圍，
（3）f（x₁）•f（x₂）=
=
=
=
令t=x₁x₂，∵（x₁=x₂=時取等號）∴
∴
令，
∴f（x₁）•f（x₂）==，
∵上單調遞減，
∴，
∴．
設h（x）=x-ln（x-p），則h′（x）=1-，x＞p，
令h′（x）=0，得x=p+1，當h′（x）＜0，
即p＜x＜p+1時，h（x）單調遞減；
當h′（x）＞0，即x＞p+1時，h（x）單調遞增，
∴h（x）min=h（p+1）=p+1．
要使不等式f（x1）•f（x2）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）時恒成立只需f（x1）•f（x2）的最大值小于p+1，
即≤p+1，得p≥，
∴p的最小值為．
點評：本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)單調性；考查數(shù)形結合的能力；同時考查觀察、猜想、論證及解不等式中恒成立的含參數(shù)值的綜合能力．計算量大，需細心．