【題目】對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：
1）f（x）在[m，n]上是單調的；
2）當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．若函數f（x）= 
﹣ 
（a＞0）存在“和諧區間”，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】0＜a＜1
【解析】解：由題意可得函數 
在區間[m，n]是單調遞增的，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的兩個同號的不等實數根，
即 
，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有兩個同號的實數根，
∵mn= 
，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得 
＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
所以答案是：0＜a＜1．
【考點精析】通過靈活運用函數的值域和函數單調性的判斷方法，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較即可以解答此題．
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，直線
與拋物線
交于
兩點．
（Ⅰ）若直線
過焦點
，且與圓
交于
（其中
在
軸同側），求證： 
是定值；
（Ⅱ）設拋物線
在
和
點的切線交于點
，試問： 
軸上是否存在點
，使得
為菱形？若存在，請說明理由并求此時直線
的斜率和點
的坐標．
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【題目】為了研究一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm），根據所得數據畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約中（ ） 
A.3000
B.6000
C.7000
D.8000
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，左、右頂點分別為
為直徑的圓O過橢圓E的上頂點D，直線DB與圓O相交得到的弦長為
．設點
，連接PA交橢圓于點C，坐標原點為O．
(I)求橢圓E的方程；
(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；
（2）若f（x）在區間（﹣∞，2]，上是減函數，且對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實數a的取值范圍．
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【題目】對于函數
和
，若存在常數
，對于任意
，不等式
都成立，則稱直線
是函數
的分界線. 已知函數
為自然對數的底， 
為常數
(1)討論函數
的單調性；
(2)設
，試探究函數
與函數
是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由.
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