Question

圓M的圓心在直線y=-2x上，經過點A（2，-1），且與直線x+y=1相切，
（1）試求圓M的方程；
（2）從點P（-1，-2）發出的光線經直線y=1反射后可以照在圓M上，試求發出光線所在直線的斜率取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出圓心的坐標為（a，2a），根據圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標，進而求出圓的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可；
（2）設發出光線所在直線的斜率為k，求出發射光線所在直線的方程，再利用圓心到直線的距離不大于半徑，建立不等式，即可得出結論．

解答：解：（1）設所求圓心坐標為（a，2a），則
由條件得

(a-2)2+(2a+1)2

=

|a+2a-1|

2

，化簡得a²+6a+9=0，
∴a=-3，
∴圓心為（-3，-6），半徑r=5

2

，
∴所求圓方程為（x+3）²+（y+6）²=50；
（2）設發出光線所在直線的斜率為k，則發射光線所在直線的斜率為-k，
點P（-1，-2）關于直線y=1的對稱點的坐標為（-1，4），
∴發射光線所在直線的方程為y-4=-k（x+1），即kx+y-4+k=0，
∵點P（-1，-2）發出的光線經直線y=1反射后可以照在圓M上，
∴

|-3k-6-4+k|

k2+1

≤5

2

，解得k≤

10-5 27

23

或k≥

10+5 27

23

．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用此性質列出方程來解決問題．