Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ．

（1）求證：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D為B1C1的中點，求AD與平面A1BC1所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，

∴AB1⊥BA1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1．

又∵A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∴A1C1⊥AB1．

∴AB1⊥平面A1BC1．

（2）解：設AB1與A1B相交于點O，則點O是線段AB1的中點．

連接AC1，由題意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中線知：AD與C1O的交點為重心G，連接OG．

由（1） 知AB1⊥平面A1BC1，

∴OG是AD在平面A1BC1上的射影，

∴∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角．

在直角△AOG中，

AG= AD= AB1= AB，AO= AB，

∴sin∠AGO= = ．

∴∠AGO=60°，

即AD與平面A1BC1所成的角為60°．

【解析】（1）由題意先推導出A1C1⊥平面AA1B1B，從而得到A1C1⊥AB1 ， 由此能夠證明AB1⊥平面A1BC1 ． （2） 設AB1與A1B相交于點O，由題設條件推導出AD與C1O的交點為重心G，連接OG，能推導出∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角，由此能求出AD與平面A1BC1所成的角的大小．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．