Question

已知橢圓C：的離心率為，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C內一點M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點．對給定的m值，若存在直線l及直線母x=-2上的點N，使得△PNQ的垂心恰為點F，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓離心率為，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，△PNQ的垂心恰為點F，建立等式，即可求m的取值范圍．
解答：解：（1）由條件得，解得a=，b=c=1
∴橢圓C的方程為．
（2）由條件知，F（-1，0），．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（-2，y₁），則由得（λ²+2）y²+2λmy+m²-2=0，
由知△＞0恒成立，且，．
由PQ⊥NF得y₁=λ，（1）
由NQ⊥PF得，（2）
由（1）（2）式化簡得，（λ²+1）y₁y₂+λ（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）（m+2）=0
化簡得，mλ²=-（3m²+6m+2）（顯然m≠0），
由λ²≥0，得，解得．
∴m的取值范圍[）．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．