Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0處取得極值，曲線y=f（x）過原點O和點P（-1，2），若曲線y=f（x）在P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且l的傾斜角為鈍角．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，求實數m的取值范圍；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

分析：（1）由曲線y=f（x）過原點得d，由x=0是f（x）的極值點，得f'（0）=0，求得c，由夾角公式得f′（-1），再根據f（-1）=2可得a，b的方程組，解出即可；
（2）利用導數可求得f（x）的增區間，由題意可知，[2m-1，m+1]為f（x）增區間的子集，由此可得不等式，解出即可，注意2m-1＜m+1；
（3）由于對任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，只需證明f（x）_max-f（x）_min≤4；

解答：解：（1）∵曲線y=f（x）過原點，∴d=0，
∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且x=0是f（x）的極值點，
∴f'（0）=0，解得c=0，
∵過點P（-1，2）的切線l的斜率為f'（-1）=3a-2b，
由夾角公式得：|

2-f′(-1)

1+2f′(-1)

|=1⇒f′(-1)=-3或f′(-1)=

1

3

（舍），
所以

f(-1)=-2 f′(-1)=-3

得

-a+b=2 3a-2b=-3

，解得

a=1 b=3

，
故f（x）=x³+3x²；
（2）f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0即x（x+2）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）的增區間為（-∞，-2]和[0，+∞]，
∵f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，
∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞），
∴

m+1≤-2 2m-1＜m+1

或

2m-1≥0 2m-1＜m+1

，解得m≤-3或

1

2

≤m＜2；
（3）令f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）=0⇒x=0或x=-2，
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值M為4，最小值N為0，
故對任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤M-N=4-0=4；

點評：本題考查利用導數研究函數的最值、極值，考查導數的幾何意義，考查轉化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．