Question

在等比數列{a_n}中，公比q＞1，且滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂與a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂ an+5，且數列{b_n}的前n的和為S_n，求數列{

Sn

n

}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂與a₄的等差中項，建立方程，求出數列的公比，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{b_n}的通項及前n的和，求得數列{

Sn

n

}的通項，即可求和．

解答：解：（1）∵a₂+a₃+a₄=28，∴a₁q+a₁q²+a₁q³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中項得到2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³②．
由①得：a₁q（1+q+q²）=28③，由②得：a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20即a₁q（1+q²）=20④
③÷④得

1+q+q2

1+q2

=

7

5

∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=

1

2

∵q＞1，∴q=2
∴數列{a_n}的通項公式a_n=a₃q^n-3=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=log₂ an+5=n+5，∴b₁=6
∴數列{b_n}是以6為首項，1為公差的等差數列，
∴S_n=

(n+11)n

2

∴

Sn

n

=

n+11

2

∴數列{

Sn

n

}是以6為首項，

1

2

為公差的等差數列，
∴T_n=

n(6+ n+11 2 )

2

=

n2+23n

4

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．