Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax-2(a∈R)
（1）若函數f（x）在區間（-∞，+∞）上為單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）設A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂））是函數f（x）的兩個極值點，若直線AB的斜率不小于-

5

6

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）在區間（-∞，+∞）上為單調函數，可得不等式，即可求實數a的取值范圍；
（2）表示出直線AB的斜率，結合韋達定理，代入可解出a的范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=x²+ax+a
∵函數f（x）在區間（-∞，+∞）上為單調函數，
∴△=a²-4a≤0
∴0≤a≤4；
（2）直線AB的斜率=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

1 3 x23+ 1 2 ax22+ax2-2-( 1 3 x13+ 1 2 ax12+ax1-2)

x2-x1

=

1

3

[（x₁+x₂）²-x₁x₂]+

1

2

a（x₁+x₂）+a≥-

5

6

∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

（a²-a）-

1

2

a²+a≥-

5

6

∴-1≤a≤5

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．