Question

已知f(x)=

x

1-x

，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則f₃（x）和f_n（x）的表達(dá)式分別為（　�。�

• A、

  x

  1-4x

  ，

  x

  1-2n-1x

• B、

  x

  1-8x

  ，

  x

  1-2nx

• C、

  x

  1-2x

  ，

  x

  1-2n-2x

• D、

  x

  1-x

  ，

  x

  1-2n-3x

Answer 1

分析：由已知 f(x)=

x

1-x

，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則易得f₂（x）、f₃（x）的表達(dá)式，根據(jù)三個(gè)表達(dá)式，我們歸納出變化規(guī)律，進(jìn)而推斷出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式．

解答：解：f1(x)=

x

1-x

，f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)

1-f1(x)

=

x 1-x

1- x 1-x

=

x

1-2x

，f3(x)=f2[f2(x)]=

f2(x)

1-2f2(x)

=

x 1-2x

1-2• x 1-2x

=

x

1-22x

；
…
猜想 fn(x)=

x

1-2n-1x

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：猜想是課改的一個(gè)亮點(diǎn)，也是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．