Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC

（Ⅰ）證明：A₁C⊥平面BED。

（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小。

Answer 1

解法一：依題設，AB=2，CE=1

   （Ⅰ）連結AC交BD于點F，則BD⊥AC．

   由三垂線定理知，BD⊥A₁C                                           

   在平面A₁CA內，連結EF交A₁C于點G，

   由于，

   故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE與∠FCA₁互余。于是A₁C⊥EF。

   A₁C與平面BED內兩條相交直線BD、EF都垂直，

   所以A₁C⊥平面BED。                                                           

   （Ⅱ）作GH⊥DE，垂足為H，連結A₁H。由三垂線定理知A₁H⊥DE，

   故∠A₁HG是二面角A₁―DE―B的平面角。                     

       

        ，

        ，

        ．

   又．

       

   所以二面角A₁―DE―B的大小為                         

   解法二：

   以D為坐標原點，射線DA為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系D―．

   依題設，B（2，2，0）  C（0，2，0）  E（0，2，1）  A₁（2，0，4）

           （0，2，1）  （2，2，0），

           （－2，2，－4）  （2，0，4）                  

   （Ⅰ）因為，

      故A₁C⊥BD=0，A₁C⊥DE，

      又DB∩DE=D，

      所以A₁C⊥平面DBE．

   （Ⅱ）設向量是平面DA₁E的法向量，則

       ，

      故   ．

      令，則                          

      <n，等于A₁―DE―B的平面角，

      ．

      所以二面角A₁―DE―B的大小為．