Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n表示數列{a_n}的前n項的和，且2S_n=a

2 n

+a_n．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設b_n=a_n•2 an，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先利用遞推關系求出數列的通項公式，
（2）利用（1）的結論進一步利用乘公比錯位相減法求數列的和．

解答： 解：（1）2S1=

a

2 1

+a1
∴a₁=1，
當n≥2時，2an=2Sn-2Sn-1=

a

2 n

+an-

a

2 n-1

-an-1
又∵a_n＞0，
∴a_n=a_n-1+1，
∴{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數列，
故：a_n=a₁+（n-1）d
=n．
（2）由題意可設：Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2ⁿ，
2Tn=1×22+2×22+…+n×2 n+1，
則：Tn=(n-1)2n-1+2．

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，乘公比錯位相減法的應用，屬于基礎題型．