Question

如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD
（I）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（II）證明平面AMD⊥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．算出B、C、D、E、F、M各點的坐標，從而得到

BF

、

DE

的坐標，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

BF

，

DE

＞的值，即得異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）利用數量積為零的兩個向量相互垂直，證出AM⊥CE且DM⊥CE，從而證出CE⊥平面AMD，結合面面垂直判定定理，即可證出平面AMD⊥平面CDE．

解答：解：分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
設AB=1，依題意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）
E（0，1，1），F（0，0，1），M（

1

2

，1，

1

2

）
（ I）

BF

=（-1，0，1），

DE

=（0，-1，1）
∴

BF

•

DE

=-1×0+0×（-1）+1×1=1
|

BF

|=

(-1)2+02+12

=

2

，|

DE

|=

02+(-1)2+12

=

2

可得cos＜

BF

，

DE

＞=

BF • DE

| BF |•| DE |

=

1

2 × 2

=

1

2

∵＜

BF

，

DE

＞的范圍是[0，π]，∴＜

BF

，

DE

＞=

π

3

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為

π

3

．
（ II）∵

AM

=（

1

2

，1，

1

2

），

CE

=（-1，0，1），
∴

AM

•

CE

=

1

2

×（-1）+1×0+

1

2

×1=0，得

AM

⊥

CE

，
同理可得：

DM

•

CE

=0，得

DM

⊥

CE

∵AM、DM是平面AMD內的相交直線，∴CE⊥平面AMD
又∵CE?平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．

點評：本題給出特殊五面體，求證面面垂直并求線線所成的角，著重考查了利用空間坐標系解決異面直線所成角和證明面面垂直等知識點，屬于中檔題．