Question

如圖所示，已知多面體PABCD的直觀圖（圖1）和它的三視圖（圖2），
（I）在棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；
（II）求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角請(qǐng)用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】分析：（I）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．設(shè)E（0，0，a），為平面EBD的法向量，
利用求出，利用求出a，在棱PA上存在點(diǎn)E，使得PC∥平面EBD．求出PE：PA的值．
（II）設(shè)分別為平面BPC和平面DPC的法向量，求出法向量，
利用求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角請(qǐng)用反三角函數(shù)表示）
解答：解：由三視圖可知，多面體是四棱錐P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD．且PA=2，AB=BC=1，AD=2．（1分）
如圖以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
由三視圖可知，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（3分）
設(shè)E（0，0，a），為平面EBD的法向量，
則，，
由，得．
令y=1，則．（4分）
又，且，
∴，
∴a=..（5分）
∴在棱PA上存在點(diǎn)E，使得PC∥平面EBD，
此時(shí)PE：PA=1：3..（6分）
（Ⅱ）設(shè)分別為平面BPC和平面DPC的法向量，
又，
則由，得，
令z₁=1，則．（9分）
同理．
∴．（11分）
由圖可知二面角B-PC-D為鈍二面角，
∴二面角B-PC-D的大小為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，是中檔題．