Question

已知橢圓C的焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）與橢圓C相交于點M、N，當△OMN（O是坐標原點）的面積取得最大值時，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義及參數a，b，c的關系即可得出；
（2）利用橢圓和拋物線的對稱性，可設出點P的坐標，進而表示出三角形的面積，利用基本不等式的性質及點在橢圓上即可得出．
解答：解：（1）依題意，設橢圓C的方程為，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|==，∴，c=1，∴，
∴橢圓C的方程為．
（2）根據橢圓和拋物線的對稱性，設M（x，y）、N（x，-y）（x，y＞0），
△OMN的面積，
∵M（x，y）在橢圓上，∴，
∴，等號當且僅當時成立，
解（x，y＞0）得，M（x，y）即．
∵點M在拋物線y²=2px上，∴，解得．
∴p=．
點評：熟練正確圓錐曲線的定義及其性質、基本不等式的性質是解題的關鍵．