Question

球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2

3

的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為（　　）

• A、3
• B、3

  5

• C、

  5

• D、

  3 5

  2

Answer 1

分析：由于面SAB⊥面ABC，所以點S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據球體的對稱性可知，當S在“最高點”，也就是說H為AB中點時，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．

解答：解：由題意畫出幾何體的圖形如圖
由于面SAB⊥面ABC，所以點S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據球體的對稱性可知，
當S在“最高點”，也就是說H為AB中點時，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．
∵△ABC是邊長為2

3

的正三角形，
∴球的半徑r=OC=

2

3

CH=

2

3

×

3

2

×2

3

=2，
在RT△SHO中，OH=

1

2

OC=

1

2

OS=1，
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=

3

，
∴體積V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×2

3

×2

3

×

3

2

×

3

=3．
故選A．

點評：本題考查錐體體積計算，根據幾何體的結構特征確定出S位置是關鍵．考查空間想象能力、計算能力．