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設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-tx-2=0的兩個(gè)根為α、β(α<β).
(1)若x1、x2為區(qū)間[α、β]上的兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:4x1x2-t(x1+x2)-4<0.
(2)設(shè)f(x)=
4x-tx2+1
,f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值和最小值分別為fmax和fmin,g(t)=fmax-fmin,求g(t)的最小值.
分析:(1)由二次函數(shù)圖象特點(diǎn)知,2x12-tx1-2≤0,2x22-tx2-2≤0,則2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0,整理后使用不等式進(jìn)行放縮可得結(jié)論;
(2)令f′(x)=0,可求得極值點(diǎn)為α,β,從而可知f(x)在[α,β]上的單調(diào)性,由單調(diào)性可求得最大值、最小值,借助韋達(dá)定理可表示出g(t),化簡后利用不等式可求得g(t)的最小值;
解答:解:(1)由2>0,得y=2x2-tx-2的圖象開口向上,
又x1、x2為區(qū)間[α、β]上的兩個(gè)不同點(diǎn),
所以2x12-tx1-2≤0,2x22-tx2-2≤0
所以2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0,即2(x12+x22)-t(x1+x2)-4≤0,
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">x12+x22>2x1x2(x1≠x2),
所以4x1x2-t(x1+x2)-4<2(x12+x22)-t(x1+x2)-4≤0,
故4x1x2-t(x1+x2)-4<0.
(2)對(duì)f(x)求導(dǎo):f′(x)=
-2(2x2-tx-2)
(x2+1)2

令f′(x)=0,即2x2-tx-2=0,
所以其極值點(diǎn)即是α,β,可知f(x)在[α,β]上遞增,
f(x)max=f(β),f(x)min=f(α),
g(t)=f(β)-f(α)=
4β-t
β2+1
-
4α-t
α2+1

=
(α-β)[4αβ-t(α+β)-4]
(α2+1)(β2+1)

又α+β=
t
2
,αβ=-1,則4αβ-t(α+β)-4=-
t2+16
2

(α2+1)(β2+1)=α2β2+(α+β)2-2αβ+1=
t2+16
4

g(t)=2(β-α),
(β-α)2=(α+β)2-4αβ=
t2
4
+4
≥4,所以β-α≥2,
所以g(t)=2(β-α)≥4,即g(t)的最小值為4.
點(diǎn)評(píng):本題考查二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,考查不等式的證明,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+4-b2=0.
(1)如果a∈{0,1,2,3},b∈{0,1,2},求方程有實(shí)根的概率;
(2)如果a∈[0,3],b∈[0,2],求方程有實(shí)根的概率;
(3)由(2),并結(jié)合課本“撒豆子”試驗(yàn),請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)估算圓周率π的實(shí)驗(yàn),并給出計(jì)算公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1,x2
(1)求(1+x1)(1+x2)的值;
(2)求證:x1<-1,且x2<-1;
(3)如果
x1
x2
∈[
1
10
,10]
,試求a的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(其中α<β),函數(shù)f(x)=
4x-ax2+1

(1)若a=1,求f(α)+f(β)的值;
(2)用單調(diào)性的定義證明f(x)在(α,β)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區(qū)間[0,3]任取一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取一個(gè)數(shù),上述方程有實(shí)根的概率是(  )

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