Question

過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（點A在y軸左側），則=    ．

Answer 1

【答案】分析：作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸．則可知AA₁∥OF∥BB₁，根據比例線段的性質可知==，根據拋物線的焦點和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯立消去x，根據韋達定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表達式，進而可求得x_Ax_B=-（）²，整理后兩邊同除以x_B²得關于的一元二次方程，求得的值，進而求得．
解答：解：如圖，作AA₁⊥x軸，
BB₁⊥x軸．
則AA₁∥OF∥BB₁，
∴==，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴=-，
∵直線AB方程為y=xtan30°+
即y=x+，
與x²=2py聯立得x²-px-p²=0
∴x_A+x_B=p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（）²
=-（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
兩邊同除以x_B²（x_B²≠0）得
3（）²+10+3=0
∴=-3或-．
又∵x_A+x_B=p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴＞-1，
∴=-=-（-）=．
故答案為：
點評：本題主要考查了拋物線的性質，直線與拋物線的關系以及比例線段的知識．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．