Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC＝4，O為BD的中點，E為PA的中點．

(Ⅰ)求證：PO·⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求證：OE∥平面PDC；

(Ⅲ)求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：設為的中點，連接，則 　　∵，，，∴四邊形為正方形， 　　∵為的中點，∴為的交點， 　　∵，， 　　∵， 　　∴，， 　　在三角形中，，∴，　4分 　　∵，∴平面；　5分 　　(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點，∴， 　　∵平面，平面， 　　∴平面．　9分 　　方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 　　由已知得，，，，， 　　， 　　則，，，． 　　∴ 　　∴∵平面，平面， 　　∴平面；　9分 　　(Ⅲ)設平面的法向量為，直線與平面所成角， 　　則，即，解得，令， 　　則平面的一個法向量為，又 　　則， 　　∴直線與平面所成角的正弦值為．　12分