Question

（2013•湖州二模）已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．（注：e是自然對數(shù)的底數(shù)，約等于2.71828）

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時判斷f′（x）在[2，e]，[1，2]上的符號，從而得知函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求極值，再與端點處函數(shù)值作比較，可得函數(shù)最值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．由f（x）≥0，得|x-a|≥

lnx

x

   （*）．分0＜x＜1，x≥1兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜x＜1時易判斷；當(dāng)x≥1時，再按a≤1，a＞1兩種情況討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值可解；

解答：解：（Ⅰ） 若a=2，則f（x）=x|x-2|-lnx．
當(dāng)x∈[2，e]時，f（x）=x²-2x-lnx，f′(x)=2x-2-

1

x

=

2x2-2x-1

x

＞0，
所以函數(shù)f（x）在[2，e]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=-x²+2x-lnx，f′(x)=-2x+2-

1

x

=

-2x2+2x-1

x

＜0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，
又因為f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上有最大值f（1）=1．
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
由f（x）≥0，得|x-a|≥

lnx

x

．   （*）
（�。┊�(dāng)x∈（0，1）時，|x-a|≥0，

lnx

x

＜0，
不等式（*）恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）當(dāng)x≥1時，
①當(dāng)a≤1時，由|x-a|≥

lnx

x

得x-a≥

lnx

x

，即a≤x-

lnx

x

，
現(xiàn)令h(x)=x-

lnx

x

，則h′(x)=

x2-1+lnx

x2

，
因為x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
從而h（x）的最小值為1，因為a≤x-

lnx

x

恒成立等價于a≤h（x）_min，
所以a≤1；
②當(dāng)a＞1時，|x-a|的最小值為0，而

lnx

x

＞0(x＞1)，顯然不滿足題意．
綜上可得，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力．