Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．數列{b_n}是等比數列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；（II）記c_n=a_nb_n，求數列c_n前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）在數列{a_n}中，把已知條件用首項a₁，公差d表示，聯立方程可求a₁和d；在數列{b_n}中，用b₁和公比q把已知表示，求出b₁和公比q
（II）由（I）可知c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯位相減求出數列的和
解答：解：（I）公差為d，
則，
∴故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
設等比數列b_n的公比為q，則，∴b₃=8，q=2
∴b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（II）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ∵T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=
=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）
∴T_N=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．
點評：本題考查了等差數列與等比數列的基本知識，第二問，求前n項和的解法，要抓住它的結特征，一個等差數列與一個等比數列之積，乘以2后變成另外的一個式子，體現了數學的轉化思想．