Question

已知橢圓C：  

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點坐標為(0，

3

)，離心率為

1

2

．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設P為橢圓上一點，A為橢圓左頂點，F為橢圓右焦點，求

PA

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據已知條件分別求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（II）根據題意，設P（x，y）根據橢圓的方程，易得A₁、F₂的坐標，將其代入

PA

•

PF

中，可得關于x、y的關系式，結合雙曲線的方程，可得

PA

•

PF

=

1

4

x²+x+1，由x的范圍，可得答案．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知b=

3

， 

c

a

=

1

2

，
所以a=2， b=

3

， c=1，
得橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）設P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），則

PA

=(-2-x，-y)，

PF

=(1-x，-y)，
∴

PA

•

PF

=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=

1

4

x2+x+1(-2≤x≤2)．
當x=0時，取得最小值0，當x=2時，取得最大值4，
∴

PA

•

PF

∈[0，4]

點評：本題考查橢圓方程的應用、平面向量數量積的運算等，涉及最值問題．最值問題解題的思路是先設出變量，表示出要求的表達式，結合圓錐曲線的方程，將其轉化為只含一個變量的關系式，進而由不等式的性質或函數的最值進行計算．