Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=（

1

2

）^x-m
（1）x∈[-1，3]求f（x）的值域；
（2）若對?x∈[0，2]，g（x）≥1成立，求實數m的取值范圍；
（3）若對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據二次函數的性質，確定函數的單調性，從而可得函數的最值，即可求得函數的值域．
（2）根據對?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，等價于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1，而g（x）在[0，2]上單調遞減，利用其最小建立關于m的不等關系即可求得實數m的取值范圍．
（3）對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，等價于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9，從而建立關于m的不等式，由此可求結論．

解答：解：（1）當x∈[-1，3]時，函數f（x）=x²∈[0，9]，
∴f（x）的值域[0，9]…（4分）
（2）對?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，
等價于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1．
而g（x）在[0，2]上單調遞減，所以
  (

1

2

)2-m≥1，即m≤-

3

4

           （8分）
（3）對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，
等價于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9  （10分）
由1-m≤9，
∴m≥-8．          （14分）

點評：本題考查全稱命題、特稱命題及恒成立問題，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是轉化為恒成立問題加以解決，屬于基礎題．