Question

20．拋物線y²=8x的焦點為F，過F作直線l交拋物線于A、B兩點，設$|{\overrightarrow{FA}}|=m，\overrightarrow{|{FB}|}=n$，則m•n的取值范圍為（　　）

• A． （0，4]
• B． （0，16]
• C． [16，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 ①當直線斜率存在時，設過焦點直線方程為y=k（x-2），求得$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$，代入橢圓方程，求得∴m•n=-（x₁-2，k（x₁-2））•（x₂-2，k（x₂-2））=16（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞16，②當直線斜率不存在時，x₁=x₁=2，y₁=4，y₁=-4，此時m•n=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=16；即可求得則m•n的取值范圍．

解答 解：已知拋物線方程為y²=8x，故焦點坐標為F（2，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當直線斜率存在時，設過焦點直線方程為y=k（x-2），A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），
$\overrightarrow{FA}$=（x₁-2，k（x₁-2）），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-2，k（x₂-2）），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（8+4k²）x+4k²=0，
由韋達定理得x₁+x₂=$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨cos180°=-丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=-m•n，
∴m•n=-（x₁-2，k（x₁-2））•（x₂-2，k（x₂-2））=-（k²+1）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-（k²+1）（4-2×$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$+4）=16（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞16，
②當直線斜率不存在時，x₁=x₁=2，y₁=4，y₁=-4，此時m•n=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=16；
綜上，m•n的取值范圍為[16，+∞），
故選C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．