Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

，|F₁F₂|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用

F2A

⊥

AQ

，求出Q的坐標，利用2

F1F2

+

F2Q

=

0

，可得F₁為F₂Q中點，結(jié)合|F₁F₂|=2，從而可求幾何量，即可得到橢圓C的方程；
（2）設出l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合菱形對角線垂直，即(

PM

+

PN

)•

MN

=0，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）設Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知

F2A

=（-c，b），

AQ

=（x₀，-b），
∵

F2A

⊥

AQ

，∴-cx₀-b²=0，
∴x₀=-

b2

c

，
∵2

F1F2

+

F2Q

=

0

，∴F₁為F₂Q中點，
∴-

b2

c

+c=-2c，∴b²=3c²=a²-c²
∵|F₁F₂|=2，∴c=1，∴b=

3

，a=2
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1        …6分
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1）
代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…8分
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，

PM

+

PN

=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
∵菱形對角線垂直，∴(

PM

+

PN

)•

MN

=0
即

y1+y2

x1+x2-2m

×k=-1 …11分
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知條件知k≠0且k∈R，∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．…14分

點評：本題考查橢圓的方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．