Question

已知函數f(x)＝ax³＋x²－ax，其中a，x∈R．

(Ⅰ)當a＝1時，求函數f(x)的單調遞減區間；

(Ⅱ)若函數f(x)在區間(1，2)上不是單調函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)若x∈[0，3]時，函數f(x)在x＝0處取得最小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當時，．， 　　由得， 　　即當時，函數f(x)的單調遞減區間為．　3分 　　(Ⅱ)解法一： 　　依題意知方程在區間(1，2)內有不重復的零點，　5分 　　而，由得 　　∵x∈(1，2)，∴，∴； 　　令(x∈(1，2))，則， 　　∴在區間(1，2)上是單調遞增函數，其值域為， 　　故a的取值范圍是．　8分 　　解法二： 　　依題意知方程即在區間(1，2)內有不重復的零點， 　　當a＝0時，得x＝0，但0(1，2)； 　　當a≠0時，方程的△＝4＋12a2＞0，，必有兩異號根， 　　欲使f(x)在區間(1，2)上不是單調函數，方程在(1，2)內一定有一根，設，則F(1)·F(2)＜0， 　　即(2a＋2)(11a＋4)＜0，解得， 　　故a的取值范圍是．(解法二得分標準類比解法一) 　　(Ⅲ)由題可知當[0，3]時，即恒成立， 　　又[0，3]，則恒成立．　9分 　　記 　　當時，在[0，3]時恒成立，符合題意； 　　當時，由于，則不符合題意； 　　當時，由于，則只需，得， 　　即．　12分 　　綜上，．　13分