Question

（12分）拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點．

①為坐標原點，求證：；

②設點在線段上運動，原點關于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值．.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）時，四邊形的面積最小，最小值是．

【解析】

試題分析：（1）先利用已知條件設出直線AB的方程，與拋物線聯立方程組，然后結合韋達定理表示出向量的數量積，進而證明。

（2）根據由點與原點關于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，得到四邊形的面積等于，結合三角形面積公式得到。

（Ⅰ）解：依題意，設直線方程為．  …………1分

將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得．……3分

設，，所以 ，．

=1，

故．………………6分

（Ⅱ）解：由點與原點關于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．……8分

因為   ……………9分

，…………11分                                  

  所以 時，四邊形的面積最小，最小值是．  ……12分

考點：本試題主要是考查了直線與拋物線愛你的位置關系的運用。

點評：對于幾何中的四邊形的面積一般運用轉換與化歸的思想來求解得到。