Question

已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F ( c,0 )，P是雙曲線右支上一點，且△OFP的面積為

（Ⅰ）若點P坐標為，求此雙曲線的離心率；

（Ⅱ）若，當取得最小值時，求此雙曲線的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）設所求的雙曲線的方程為 ( a＞0，b＞0)

則|OF|×=，∴c =

∴b² = c² a² = 2 a²

由點P ( 2, )在雙曲線上，∴，解得a² = 1

∴離心率

（Ⅱ）設所求的雙曲線的方程為 ( a＞0，b＞0)，P (x₁，y₁)

則 = (x₁ c, y₁ )

∵△OFP的面積為 ，

∴||      | y₁ | = . ∴| y₁ | =

∵?=     

∴?= ( x₁ c ) c =

解得

≥

∵==

當且僅當c =時等號成立

此時P () , 由此得  ，解得  或舍

則所求雙曲線的方程為