Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經過橢圓的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設AB是橢圓（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線于兩點Q、R，求證．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由圖易求切點A₁（2，0），根據MO⊥A₁A₂可求直線A₁A₂的方程，從而可求橢圓上頂點，進而得a，b值；
（Ⅱ）設P（x，y），A（m，n），B（m，-n），則有，m²+4n²-4=0，寫出直線AP方程可求得y_Q，同理求得y_R，于是可得y_Q•y_R，進而得到，再根據m的范圍即可求證．
解答：解：（Ⅰ） 觀察知，x=2是圓的一條切線，切點為A₁（2，0），
設O為圓心，根據圓的切線性質，MO⊥A₁A₂，
所以，
所以直線A₁A₂的方程為．
線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意知a=2，b=1，
所求橢圓的方程為．
（Ⅱ） 橢圓方程為，設P（x，y），A（m，n），B（m，-n），
則有，m²+4n²-4=0，
在直線AP的方程中，令，整理得．①
同理，．②
①×②，并將，代入得y_Q•y_R=
===．
而=，
∵|m|＜2且m≠0，∴，
∴．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查數形結合思想，考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力，難度較大．