Question

設函數f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數g(x)=

ex

f(x)

，討論g（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為”函數在x=0處取得極值“，則有f'（0）=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直”，則有f'（1）=2，從而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：g(x)=

ex

x2+k

(k＞0)，令g'（x）=0，有x²-2x+k=0，因為還有參數k，由一元二次方程，分三種情況討論，（1）當△=4-4k＜0，函數g（x）在R上為增函數，（2）當△=4-4k=0，g（x）在R上為增函數（3）△=4-4k＞0，方程x²-2x+k=0有兩個不相等實根，則由其兩根來構建單調區間．

解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b
又f（x）在x=0處取得極值，故f'（x）=0，
從而b=0，
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2，
即f'（1）=2，有2a=2，從而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
g(x)=

ex

x2+k

(k＞0)、g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

(k＞0)
令g'（x）=0，有x²-2x+k=0（8分）
（1）當△=4-4k＜0，即當k＞1時，g'（x）＞0在R上恒成立，故函數g（x）在R上為增函數（10分）
（2）當△=4-4k=0，即當k=1時，g′(x)=

ex(x-1)2

(x2+k)2

＞0(x≠1)，K=1時，g（x）在R上為增函數（12分）
（3）△=4-4k＞0，即當0＜k＜1時，方程x²-2x+k=0有兩個不相等實根x1=1-

1-k

，x2=1+

1-k

當x∈(-∞，1-

1-k

)是g'（x）＞0，故g（x）在(-∞，1-

1-k

)上為增函數
當x∈(1-

1-k

，1+

1-k

)時，g'（x）＜0，故g（x）在(1-

1-k

，1+

1-k

)上為減函數
當x∈(1+

1-k

，+∞)時，g'（x）＞0，故g（x）在(1+

1-k

，+∞)上為增函數（14分）

點評：本題主要考查導數的幾何意義，函數的極值及函數的單調性．綜合性較強，充分考查了函數方程不等式三者的內在聯系與轉化．