Question

（本題滿分14分）
已知函數，點．
（Ⅰ）若，函數在上既能取到極大值，又能取到極小值，求的取值范圍；
（Ⅱ） 當時，對任意的恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，函數在和處取得極值，且，是坐標原點，證明：直線與直線不可能垂直.

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，
令得，根據導數的符號可以得出函數在處取得極大值，
在處取得極小值．函數在上既能取到極大值，又能取到極小值，
則只要且即可，即只要即可．
所以的取值范圍是．                                    ………… 4分
（Ⅱ）當時，對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
也即在對任意的恒成立．                  
令，則．        ………… 6分
記，則，
則這個函數在其定義域內有唯一的極小值點，
故也是最小值點，所以，
從而，所以函數在單調遞增．
函數．故只要即可．
所以的取值范圍是                             ………… 9分
（Ⅲ）假設，即，
即，
故，
即．
由于是方程的兩個根，
故．代入上式得．   ………… 12分
，
即，與矛盾，
所以直線與直線不可能垂直．                           ………… 14分

略