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O是平面α上一點，A、B、C是平面α上不共線三點，平面α內的動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，若λ=
1
2
時，
PA
•(
PB
+
PC
)的值為
 
．
分析：把已知的等式進行等價變形得 
BP
=
PC
，故有
PC
+
PB
=
0
，代入所求的式子進行化簡．
解答：解：∵動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，∴
AP
=λ （
AB
+
AC
）=
1
2
（
AB
+
AC
），
∴2
AP
=
AB
+
AC
，
AP
-
AB
=
AC
-
AP
，
BP
=
PC
，
∴
PC
+
PB
=
0
，∴
PA
•(
PB
+
PC
)=
PA
•
0
=0，
故答案為：0．
點評：本題考查向量的加減運算，兩個向量的數量積，體現了等價轉化的數學思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O-ABCV的體積用VO-ABC表示．對于命題：如果O是線段AB上一點，則|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
．將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內一點，有S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
．將它類比到空間的情形應該是：若O是三棱錐A-BCD內一點，則有
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題：
①若
a
與
b
共線，則存在唯一的實數λ，使
b
=λ
a
；
②空間中，向量
a
、
b
、
c
共面，則它們所在直線也共面；
③P是△ABC所在平面外一點，O是點P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC垂心．
④若A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點．
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內部．
上述命題中正確的命題是
③④
③④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題：
①若向量
a
與向量
b
共線，向量
b
與向量
c
共線，則向量
a
與向量
c
共線；
②若向量
a
與向量
b
共線，則存在唯一實數λ，使
b
=λ
a
；
③若A、B、C三點不共線，O是平面ABC外一點，且
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC的內部．
上述命題中的真命題個數為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，O是平面ABC上的一點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
OB
+
OC
)，λ∈R，則點P的軌跡過△ABC的（　　）

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科目：高中數學 來源：2013屆云南省高二下學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

設S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示．對于命題：如果O是線段AB上一點，則||·＋||·＝.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內一點，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝.將它類比到空間的情形應該是：若O是三棱錐A－BCD內一點，則有___________________________

 

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