Question

在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

   （1）證明：D₁E⊥A₁D；

   （2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

   （3）AE等于何值時，二面角D₁—EC—D的大小為.

 

Answer 1

：（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E.

（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，

，設平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

解析:

本題涉及立體幾何線面關系的有關知識, 本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中，要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法。點評：立體幾何的內容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內容,本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣坐標才比較好寫出來.