Question

已知f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

（ω＞0）在區間[-

π

6

，

π

8

]上的最小值為-1，則ω的最小值為

3

2

．

Answer 1

分析：由三角函數的倍角公式把f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

等價轉化為y=

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

cos(2ωx+

π

6

)，再由三角函數的和（差）角公式進一步等價轉化為y=sin2ωx．因為x∈[-

π

6

，

π

8

]，所以2ωx∈[-

ωπ

3

，

ωπ

4

]，再由f（x）在區間[-

π

6

，

π

8

]上的最小值為-1，得到-

ωπ

3

=-

π

2

，或

ωπ

4

=

3π

2

，由此能夠求出ω的最小值．

解答：解：∵ω＞0，
∴f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

=

1-cos(2ωx+ π 6 )

2

+

3

sin(ωx+

π

12

)cos(ωx+

π

12

)-

1

2

=

1-cos(2ωx+ π 6 )

2

+

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

=

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

cos(2ωx+

π

6

)
=sin2ωx．
∵x∈[-

π

6

，

π

8

]，
∴2ωx∈[-

ωπ

3

，

ωπ

4

]，
∵f（x）在區間[-

π

6

，

π

8

]上的最小值為-1，
∴-

ωπ

3

≤-

π

2

，或

ωπ

4

≥

3π

2

，
解得ω≥

3

2

，或ω≥6，
∴ω的最小值=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查正弦型曲線的圖象和性質，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意三角函數的倍角公式、和（差）角公式的靈活運用．