Question

【題目】某產品生產廠家生產一種產品，每生產這種產品 （百臺），其總成本為萬元，其中固定成本為42萬元，且每生產1百臺的生產成本為15萬元總成本固定成本生產成本銷售收入萬元滿足，假定該產品產銷平衡即生產的產品都能賣掉，根據上述條件，完成下列問題：

寫出總利潤函數的解析式利潤銷售收入總成本；

要使工廠有盈利，求產量的范圍；

工廠生產多少臺產品時，可使盈利最大？

Answer 1

【答案】(1)(2) 當產量大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利 (3) 當工廠生產400臺時，可使贏利最大為54萬元．

【解析】

（1）根據利潤=銷售收入﹣總成本，且總成本為42+15x即可求得利潤函數y=f（x）的解析式．

（2）使分段函數y=f（x）中各段均大于0，再將兩結果取并集．

（3）分段函數y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一個即為所求．

解：（1）由題意得G（x）=42+15x．

∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．

（2）①當0≤x≤5時，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．

所以：1＜x≤5．

②當x＞5時，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．

綜上得當1＜x＜8.2時有y＞0．

所以當產量大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利．

（3）當x＞5時，∵函數f（x）遞減，

∴f（x）＜f（5）=48（萬元）．

當0≤x≤5時，函數f（x）=﹣6（x﹣4）2+54，

當x=4時，f（x）有最大值為54（萬元）．

所以，當工廠生產400臺時，可使贏利最大為54萬元．