Question

已知a為實數,f(x)=(x²-4)(x-a).

(1)求導數f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值;

(3)若f(x)在(-∞,-2］和［2,+∞)上都是遞增的,求a的取值范圍.

Answer 1

分析:本題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識,考查分析推理和知識的綜合應用能力.

解:

(1)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a,

∴f′(x)=3x²-2ax-4.

(2)由f′(-1)=0得a=,

此時有f(x)=(x²-4)(x),f′(x)=3x²-x-4.

由f′(x)=0得x=或x=-1,

又f()=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,

∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.

(3)方法一:f′(x)=3x²-2ax-4的圖像為開口向上且過點(0,-4)的拋物線,由條件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0,

即∴-2≤a≤2.

∴a的取值范圍為［-2,2］.

方法二:令f′(x)=0,即3x²-2ax-4=0,

由求根公式,得x₁,2=(x₁＜x₂),

∴f′(x)=3x²-2ax-4在(-∞,x₁］和［x₂,+∞)上非負.

由題設可知,當x≤-2或x≥2時,f′(x)≥0,從而x₁≥-2,x₂≤2,

即

解不等式組得-2≤a≤2,

∴a的取值范圍是［-2,2］.