Question

已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為,為橢圓的左頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知過點的直線與橢圓交于，兩點.

① 若直線垂直于軸，求的大小;

② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）（ⅰ）當直線垂直于軸時，直線的方程為.

（ⅱ）當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，且.

由題意可知：，.             2分

解得.            

∴ 橢圓的標準方程為.           3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設.

（ⅰ）當直線垂直于軸時，直線的方程為.

由 解得：或

即（不妨設點在軸上方）.        5分

則直線的斜率，直線的斜率.

∵ ，得 .

∴ .                 6分

（ⅱ）當直線與軸不垂直時，由題意可設直線的方程為.

由消去得：.

因為 點在橢圓的內部，顯然.

          8分

因為 ，，，

所以

.

∴ .    即為直角三角形.                   11分

假設存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點，連接，則.

記點為.

另一方面，點的橫坐標，

∴點的縱坐標.

又

故與不垂直，矛盾.

所以 當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.              13分

考點：本題主要考查直線方程，橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。解題過程中，運用平面向量的數量積，“化證為算”，達到證明目的。