Question

如圖，三個圖中的多邊形都是正多邊形，M，N是所在邊的中點，橢圓以圖中的F₁、F₂為焦點，設圖①、圖②、圖③中橢圓的離心率分別是e₁、e₂、e₃，則e₁、e₂、e₃的值分別是（　　）

Answer 1

分析：根據條件，設出正多邊形的邊長，求出幾何量a，c，即可得到離心率．

解答：解：①設等邊三角形的邊長為2，則橢圓的焦點為（±1，0），且過點（

1

2

，

3

2

），
∵（

1

2

，

3

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 +1

2

，c=1，∴e₁=

1

3 +1 2

=

3 -1

2

；
②設正六邊形的邊長為2，則橢圓的焦點為（-2，0）和（2，0），且過點（1，

3

），
∵點（1，

3

）到兩個焦點（-2，0）和（2，0）的距離分別為2

3

和2，
∴a=

3

+1，c=2，∴e₂=

2

3 +1

=

3 -1

2

；
③正方形的邊長為

2

，則雙曲線的焦點坐標為（-1，0）和（1，0），且過點（

1

2

，

1

2

）．
∵點（

1

2

，

1

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 + 2

4

，c=1，∴e₃=

1

10 + 2 4

=

10 - 2

2

．
故選B．

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．