Question

已知函數g(x)=px-

p

x

-2lnx
（1）g（x）在其定義域內的單調函數，求p的取值范圍；
（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…

1

n2

)]（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據導數的正負，可得不等式，從而可求p的取值范圍；
（2）設k（x）=lnx-x+1，證明函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，即可得到結論；
（3）根據（2）的結論，利用放縮法，即可得到結論．

解答：（1）解：求導函數，可得g′(x)=

px2-2x+p

x2

（x＞0）
∵g（x）在其定義域內的單調函數，
∴

p＞0 △=4-4p2≤0

或

p＜0 △=4-4p2≤0

或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）證明：設k（x）=lnx-x+1，則k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

（x＞0）
∴函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，k（x）取極大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）證明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

，
令x=n2得

ln(n2)

n2

=

2lnn

n2

＜1-

1

n2

，即

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

n2

)，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)]
=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…

1

n2

)]--------（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．