Question

8、已知函數f（x）=ax-x³，對區間（0，1]上的任意兩個值x₁、x₂，當x₁＜x₂時總有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，則a的取值范圍是（　　）

A、[4，+∞）

B、（0，4）

C、（1，4）

D、（0，1）

Answer 1

分析：由于x₁＜x₂時總有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，故可將解析式代入，進行整理化簡，分離出常數a來，得到a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區間（0，1]上恒成立進而判斷出右邊式子的最值，得出參數a的取值范圍．

解答：解：f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立
即ax₁-x₁³-ax₂+x₂³＞x₂-x₁成立
即a（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞x₂-x₁成立
∵x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0
∴a-（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞1成立
∴a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區間（0，1]上恒成立
當x₁x2的值為1時，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值為4，由于x₁＜x₂≤1故，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值取不到4
∴a≥4
故選 A

點評：本題考點是函數恒成立的問題，通過對f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁進行轉化變形，得到關于參數的不等式a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區間（0，1]上恒成立，此種方法是分離常數法在解題中的應用，對此類恒成立求參數的問題，要注意此類技巧的使用．