Question

（2012•武昌區模擬）已知x，a∈R，a＞1，直線y=x與函數f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，則a=

e

1

e

；公共點坐標是

（a，e）

．

Answer 1

分析：構造新函數g（x）=log_ax-x，求導函數，確定函數的單調性與最大值，利用直線y=x與函數f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，即可求得結論．

解答：解：構造新函數g（x）=log_ax-x，g′（x）=

1

xlna

-1，
令

1

xlna

-1=0，有x=

1

lna

，
因為a＞1，當0＜x＜

1

lna

時，g′（x）＞0；當x＞

1

lna

時，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=

1

lna

處有最大值g（

1

lna

），
當g（

1

lna

）時，直線y=x與函數f（x）=log_ax有且僅有一個公共點，即log_a（

1

lna

）=

1

lna

，
∴ln（lna）=-1，lna=

1

e

，∴a=e

1

e

則y=

1

lne 1 e

=e，即公共點坐標是（a，e），
故答案為：e

1

e

，（a，e）．

點評：本題考查導數和函數零點等知識解決問題的能力，考查學生創新意識、運用數學知識解決問題的能力和計算能力．