Question

三棱錐P—ABC中，側面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求證:AB⊥BC；

(2)設AB=BC=，求AC與平面PBC所成角的大小.

Answer 1

(1)證明:如下圖，取AC的中點D，連結PD、BD.

因為PA=PC，所以PD⊥AC.

又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D為垂足.

因為PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC.

可知AC為△ABC的外接圓直徑，因此AB⊥BC.

(2)解:如下圖，作CF⊥PB于F，連結AF、DF.

因為△PBC≌△PBA，

所以AF⊥FB，AF=CF.

因此PB⊥平面AFC，所以面AFC⊥面PBC，交線是CF.

因此直線AC在平面PBC內的射影為直線CF，∠ACF為AC與平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，DC=，PD=.

在Rt△PDB中，DF=.

在Rt△FDC中，tan∠ACF=.

所以∠ACF=30°,即AC與平面PBC所成的角為30°.