Question

求證：對于任意不小于3的自然數，

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：首先分析題目求任意不小于3的自然數都滿足

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，考慮到用數學歸納法去證明問題，首先驗證當n=3時成立，再假設n=k成立去驗證n=k+1是否成立，即可得證．

解答：證明：要證

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，只要證2ⁿ＞2n+1 （n≥3）即可．
（1）當n=3時，2³=8，2×3+1=7，不等式2ⁿ＞2n+1成立．
（2）假設n=k（k≥3，且k∈N*）時，不等式成立，即2^k＞2k+1，
則2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+2k＞2（k+1）+1，
即2^k+1＞2（k+1）+1．
綜合（1）、（2）可知，對于任意不小于3的自然數大于號恒成立．
即得證．

點評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到數學歸納法的應用問題．數學歸納法在證明題中應用廣泛，需要理解記憶．屬于中檔題．