Question

【題目】已知拋物線，點為的焦點，過的直線交于，兩點.

（1）設，在的準線上的射影分別為，，線段的中點為，證明：.

（2）在軸上是否存在一點，使得直線，的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）存在點滿足題意.

【解析】

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB的方程為x＝my+1，根據韋達定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，根據斜率公式，化簡計算即可證明；

（2）假設存在點滿足題意，設直線，的斜率分別為，，將坐標化，化簡得到關于m與a的關系式，給a取值，讓式子與m無關.

（1）證明：設，，，

故可設直線的方程為，

由，得，則，，

由題意可知，，，

則，.

因為 ，

所以，故.

（2）解：假設存在點滿足題意，設直線，的斜率分別為，.

，，

則

.

因為，且為常數，

所以，即，

故存在點滿足題意.