Question

已知數列{a_n}滿足，且a₁=3．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數列{a_n}的通項公式，并給出證明；
（2）求證：當n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，且a₁=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進而可猜想，然后利用數學歸納法進行證明即可
（2）由（1）可得a_n=n+2，從而有=（n+2）ⁿ，利用二項式定理展開后即可證明
解答：解：（1）∵，且a₁=3．
∴a₂=4，a₃=5，a₄=6
猜想a_n=n+2
證明：①當n=1時顯然成立
②假設n=k時（k≥1）時成立，即a_k=k+2
則n=k+1時，a_k+1==
=即n=k+1時命題成立
綜上可得，a_n=n+2
證明：（2）∵a_n=n+2，n≥2
∴=（n+2）ⁿ=
≥
=5nⁿ-2n^n-1=4nⁿ+n^n-1（n-2）≥4nⁿ，即證
點評：本題主要考查了數列的遞推公式在求解數列的通項綜的應用及歸納法的應用，解答（2）的關鍵是二項展開式的應用．